Odds Ratio et Risque Relatif

add

\bullet Présentation:

L’Odds Ratio, également appelé rapport des chances ou rapport des cotes ou risque relatif rapproché et noté OR, est une approche non paramétrique permettant de mesurer l’association entre deux variables binaires X ^1, X ^2 en déterminant la chance/le risque (en fonction du contexte) qu’un évènement de X ^2 se produise sachant les valeurs de X ^1.

Le Risque Relatif, relié à l’Odds Ratio et noté RR, est une approche non paramétrique permettant de mesurer l’association entre deux variables binaires X ^1, X ^2 en déterminant la chance/le risque (en fonction du contexte) qu’un évènement de X ^2 se produise dans l’un des deux groupes de X ^1 par rapport à l’autre groupe de cette même variable.

La différence entre OR et RR n’est pas toujours claire d’autant plus qu’elles sont liées l’une à l’autre. Pour essayer de clarifier cela, précisons que l’OR est le rapport entre la cote d’un évènement chez le premier sous-groupe et la cote de ce même évènement chez le second groupe alors que le RR est le rapport entre le risque de voir un évènement se produire chez le premier sous-groupe et le risque de voir ce même évènement se produire chez le second sous-groupe.

\bullet Le coefficient:

Hypothèse préliminaire: Deux variables binaires.

La formule de l’Odds Ratio est:

OR = \frac{p_{1,1} p_{2,2}}{p_{1,2} p_{2,1}}

La formule du Risque Relatif est:

RR = \frac{p_{1,2}}{p_{2,2}}

En notant n_{i,j} l’effectif de la cellule i,j du tableau croisé issu de X ^1, X ^2, nous avons  \forall i, j \in [1,2], p_{i,j} = P(X ^2 = j / X ^1 = i) = \frac{n_{i,j}}{n_{i,1} + n_{i,2}}.

Un Odds Ratio et un Risque Relatif de 1 équivaut à dire qu’il n’y a pas de relation entre X ^1, X ^2. Lorsqu’ils sont supérieurs à 1, nous dirons que l’évènement à OR/RR fois plus de chance/risque (en fonction du contexte) de se produire. S’ils sont inférieurs à 1, nous dirons qu’il a \frac{1}{OR}/\frac{1}{RR} moins de chance/risque (en fonction du contexte).

A noter également que l’Odds Ratio et le Risque Relatif sont reliés par l’égalité suivante:

RR \approx \frac{OR}{1 - R_C + R_C \cdot OR}

, où R_C = \frac{p_{2,1}}{p_{2,1} + p_{2,2}}, le risque d’incidence dans le groupe souvent décrit comme non-exposé ou de référence.

Enfin, il faut être prudent dans la manipulation des Odds Ratio et du Risque Relatif, en effet le sens choisi pour appréhender les modalités des deux variables conditionnera le résultat final.

Variation de l’Odds Ratio et du Risque Relatif:

Pour l’Odds ratio et le Risque Relatif, trois situations peuvent se produire.

OR, RR = 1, ce qui implique que,

OR = \frac{Pp_{1,1} p_{2,2}}{p_{1,2} p_{2,1}} = 1 \Rightarrow p_{1,1} p_{2,2} = p_{1,2} p_{2,1} \Rightarrow p_{1,1} = p_{1,2}, p_{2,2} = p_{2,1}

Soit que nous avons une répartition identique des quatre effectifs croisés entre X ^1, X ^2 et par conséquent qu’il n’y a pas d’interaction entre ces deux variables.

RR = \frac{p_{1,2}}{p_{2,2}} = 1 \Rightarrow p_{1,2} = p_{2,2}

Soit qu’il n’y a pas d’influence de X ^2 sur la répartition de X ^1.

OR, RR \rightarrow 0, ce qui implique que,

OR = \frac{p_{1,1} p_{2,2}}{p_{1,2} p_{2,1}} \rightarrow 0 \Rightarrow p_{1,1} p_{2,2} = 0 \Rightarrow p_{1,1} = 0 ou p_{2,2} = 0

Soit que \sharp \lbrace X ^1 = g_1, X ^2 = g_1 \rbrace = 0 ou \sharp \lbrace X ^1 = g_2, X ^2 = g_2 \rbrace = 0 et donc que la chance/risque de voir l’évènement se produire est diminué.

RR = \frac{p_{1,2}}{p_{2,2}} = 0 \Rightarrow p_{1,2} = 0

Soit que \sharp \lbrace X ^1 = g_1, X ^2 = g_2 \rbrace = 0 et donc que la chance/risque de voir l’évènement se produire est diminué.

OR, RR \rightarrow \infty, ce qui implique que,

OR = \frac{p_{1,1} p_{2,2}}{p_{1,2} p_{2,1}} = \infty \Rightarrow p_{1,1} p_{2,2} \rightarrow \infty ou p_{1,2} p_{2,1} \rightarrow 0

Soit que la population est concentrée sur les effectifs croisés \sharp \lbrace X ^1 = g_1, X ^2 = g_1 \rbrace et \sharp \lbrace X ^1 = g_2, X ^2 = g_2 \rbrace, traduisant une relation forte et croissante entre X ^1, X ^2.

RR = \frac{p_{1,2}}{p_{2,2}} \rightarrow \infty \Rightarrow p_{1,2} \rightarrow \infty ou p_{2,2} \rightarrow 0

Soit que la population pour le cas X ^1 = g_1, X ^2 = g_2 est nettement plus importante que pour le cas X ^1 = g_2, X ^2 = g_2, soit un risque accru.

\bullet Annexe théorique: 

Nous proposons dans cette section une esquisse de la démonstration de l’égalité entre l’Odds Ratio et le Risque Relatif,

RR \approx \frac{OR}{1 - R_C + R_C \cdot OR}

Dans un premier temps, simplifions nous la tâche en posant,

a = n_{1,1} = \sharp \lbrace X ^1 = g_1, X ^2 = g_1 \rbrace,

b = n_{1,2} = \sharp \lbrace X ^1 = g_1, X ^2 = g_2 \rbrace,

c = n_{2,1} = \sharp \lbrace X ^1 = g_2 / X ^2 = g_1 \rbrace,

d = n_{2,2} = \sharp \lbrace X ^1 = g_2, X ^2 = g_2 \rbrace.

Par conséquent,

RR = \frac{\frac{a}{a + b}}{\frac{c}{c + d}} = \frac{ac + ad}{ac + bc}

OR = \frac{ac}{bd}

R_C = \frac{c}{c + d}

Nous pouvons désormais procéder au développement du terme de droite,

\frac{OR}{1 - R_C + R_C \cdot OR} = \frac{\frac{ac}{bd}}{1 - \frac{c}{c + d} + \frac{c}{c + d} \cdot \frac{ac}{bd}}

= \frac{\frac{ad}{bc}}{1 - \frac{c}{c + d} + \frac{1}{c + d} \cdot \frac{ad}{b}}

= \frac{\frac{ad}{bc}}{\frac{bc + bd - bc + ad}{bc + bd}}

= \frac{\frac{ad}{bc}}{\frac{bd + ad}{bc + bd}}

= \frac{ad (bc + bd)}{bc (bd + ad)}

= \frac{abcd + abd ^2}{cb ^2d + abcd}

= \frac{ac + ad}{bc + ac}

= RR

\bullet Exemple:

Soit l’échantillon suivant:

add

Nous construisons le tableau croisé associé à X ^1, X ^2 et nous obtenons,

add1

Dans un premier temps, nous devons calculer les parts en ligne,

p_{1,1} = P(X ^2 = "C" / X ^1 = "A") = \frac{4}{4 + 6} = \frac{4}{10} = 0.4

p_{1,2} = P(X ^2 = "D" / X ^1 = "A") = \frac{6}{4 + 6} = \frac{6}{10} = 0.6

p_{2,1} = P(X ^2 = "C" / X ^1 = "B") = \frac{3}{3 + 7} = \frac{3}{10} = 0.3

p_{2,2} = P(X ^2 = "D" / X ^1 = "B") = \frac{7}{3 + 7} = \frac{4}{10} = 0.7

Pour l’Odds Ratio, nous avons alors,

OR = \frac{0.4 \times 0.7}{0.3 \times 0.6} = \frac{0.28}{0.18} = 1.555556 \approx 1.6

Nous en concluons que l’évènement X ^2 = "D" a 1.6 fois plus de chance/risque de produire quand X ^1 = "B" que quand X ^1 = "A".

Pour le risque relatif, nous avons alors,

RR = \frac{0.6}{0.7} = 0.8571429 \approx 0.9

Nous en concluons que l’évènement X ^2 = "D" à \frac{1}{0.9} \approx 1.1 fois moins de chance/risque de se produire quand X ^1 = "A" que lorsque X ^2 = "B".

\bullet Application informatique: A venir…

Procédure SAShttp://support.sas.com/documentation/cdl/en/procstat/63104/HTML/default/procstat_freq_sect006.htm

Package et fonction R:

– Pour les odds ratio: http://www.inside-r.org/packages/cran/abd/docs/odds.ratio

– Pour le Risque Relatif: http://www.inside-r.org/packages/cran/epi/docs/twoby2

\bullet Bibliographie:

– Probabilité, analyse des données et Statistique de Gilbert Saporta

– Statistique – Dictionnaire encyclopédique de Yadolah Dodge

– Comprendre et utiliser les statistiques dans les sciences de la vie de Bruno Falissard